Populaatiomalli

Tiedemies esitti kommenttiosastollaan populaatiomallin maahanmuuttoon liittyen. Tässä hänen tekstinsä:

Mallinetaan tätä näin: On kaksi populaatiota, M ja N (me ja ne). M:n populaatio kasvaa tahdilla aM. Oletetaan, että raja avataan ja N alkaa kasvaa. N:n kasvu tulee syntyvyydesta suhteellisesti bN ja nettomuutosta jokin vakiomäärä c. Oletetaan myös, että populaatiolla ei ole varsinaista rajaa niin, että kokonaispopulaatio voi kasvaa "loputtomiin".

Lisäksi oletetaan, että N:stä alkaa pikkuhiljaa siirtyä väkeä M:än tahdilla d. Tämän osasta mallia voi tietysti kiistää sanomalla, että sopeutunutkin toisen populaation asukas on "vieras" vaikka olisi kuinka monta sukupolvea ollut maassa. [...]

Jos siis meillä on tänä vuonna M "meitä" ja N "niitä", niin seuraavana vuonna M_2 = (1+a)M + dN ja
N_2 = (1+b)N - dN + c.
Tämä voi olla helpompi ratkaista differentiaaliyhtälönä niin että
M'(t) = d*N(t) + aM(t) (I)
N'(t) = (b-d)N(t) + c (II)

En nyt jaksa laskea, mutta a:n, d:n, b:n ja c:n arvoista voi laskea mille suhteelliselle osuudelle N/M stabiloituu.

Nämä luvut voi ratkaista empiirisesti. JA malliin voi lisätä jotain rajoituksia ja muita oletuksia, mutta perusperiaate on tämä.

Käsitellään harjoituksen vuoksi esitettyä differentiaaliyhtälöparia ja suhteen N/M raja-arvoa.

Täsmällisyyden vuoksi tutkitaan mieluummin alkuarvotehtävää, joka koostuu annetuista yhtälöistä (I) ja (II) sekä alkuehdosta M(0) = m ja N(0) = n, missä m ja n siis ovat joitakin tunnettuja vakioita.

Kaikki ratkaisufunktiot tulevat olemaan ratkaisuja koko reaaliakselilla, eikä asiaa korosteta myöhemmin erikseen.

Jälkimmäinen yhtälö (II) on ensimmäisen kertaluvun lineaarinen vakiokertoiminen differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisu on (todistus derivoimalla)

N(t) = c/(d-b) + f*exp((b-d)t),

missä f on mielivaltainen vakio, kun d-b != 0. Huomioimalla alkuehto saadaan

N(t) = c/(d-b) + (n - c/(d-b))exp((b-d)t).

Kun d = b, saadaan ratkaisu

N(t) = ct + f,

missä f on mielivaltainen vakio. Huomioimalla alkuehto saadaan

N(t) = ct + n.

Jatkossa alkuehto huomioidaan ilman eri mainintaa.

Koska N nyt tunnetaan, saadaan yhtälö (I) ratkaistua samalla tavoin ensimmäisen kertaluvun lineaarisen vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön ratkaisukeinolla ja ratkaisuksi saadaan

M(t) = exp(at)d((c/(ab-ad))exp(-at)+(n-c/(d-b))(1/(b-d-a))exp((b-d-a)t) + K*exp(at),

missä K = m-d(c/(ab-ad) + (n-c/(d-b))(1/(b-d-a))), kun a != 0, d-b != 0 ja b-d-a != 0.

Kun a = 0, saadaan M ratkaistua (jakautuu kahteen osaan sen mukaan, onko d-b != 0 vai ei)

M(t) = (1/2)cdt² + dnt + m,

kun d-b = 0, ja

M(t) = m + K + cdt/(d-b) - K exp((b-d)t),

missä K = d(n(d-b)-c)/(b-d)², kun d-b != 0.

Kun a != 0 ja d = b, saadaan vakiokertoimisen yhtälön ratkaisutavalla

M(t) = -(cd/a)t - d(c+an)/a² + (m+d(c+an)/a²)exp(at).

Kun a != 0 ja d != b ja b-d-a = 0, saadaan

M(t) = exp(at)d((c/(ab-ad))exp(-at)+(n-c/(d-b))t) + (m-cd/(ab-ad))exp(at).

Nyt ollaan valmiita tutkimaan suhteen N(t)/M(t) raja-arvoa, kun t:n annetaan kasvaa rajatta.

Kun a = 0 ja d = b, suhde N/M -> 0.

Kun a = 0 ja b-d < 0, suhde N/M -> 0.

Kun a = 0 ja b-d > 0, suhde N/M -> b/d-1.

Kun a > 0 ja d = b, suhde N/M -> 0.

Kun a < 0 ja d = b, suhde N/M -> -a/d.

Kun a > 0 ja b-d > 0 ja b-d-a = 0, suhde N/M -> 0.

Ehdot a > 0 ja b-d < 0 ja b-d-a = 0 eivät voi olla yhtäaikaa voimassa.

Ehdot a < 0 ja b-d > 0 ja b-d-a = 0 eivät voi olla yhtäaikaa voimassa.

Kun a < 0 ja b-d < 0 ja b-d-a = 0, suhde N/M -> -a/d.

Kun a > 0 ja b-d > 0 ja b-d-a > 0, suhde N/M -> (b-d-a)/d.

Kun a > 0 ja b-d > 0 ja b-d-a < 0, suhde N/M -> 0.

Ehdot a > 0 ja b-d < 0 ja b-d-a > 0 eivät voi olla yhtäaikaa voimassa.

Kun a > 0 ja b-d < 0 ja b-d-a < 0, suhde N/M -> 0.

Kun a < 0 ja b-d > 0 ja b-d-a > 0, suhde N/M -> (b-d-a)/d.

Ehdot a < 0 ja b-d > 0 ja b-d-a < 0 eivät voi olla yhtäaikaa voimassa.

Kun a < 0 ja b-d < 0 ja b-d-a > 0, suhde N/M -> -a/d.

Kun a < 0 ja b-d < 0 ja b-d-a < 0, suhde N/M -> -a/d.

Uskoakseni suurempia virheitä ei ole tuloksiin eksynyt. Huomauttakaa toki, jos jotain löydätte. Filosofista pohdintaa mallista seuraa myöhemmissä merkinnöissä.